Мультимедиа: геометрия, графика, кино, звук

эротика онлайн

Алгебра и анализ


Глава 10 Алгебра и анализ
Глава 10. Алгебра и анализ Алгебра Замена выражений в формулахМногочленыПоле рациональных дробейЛинейная алгебраАнализ ПределыДифференцированиеРядыИсследование функций и построение графиковИнтег...
Замена выражений в формулах
Замена выражений в формулах Одним из наиболее распространенных видов алгебраических преобразований является замена выражений, часто называемая также подстановкой, в результате выполнения которой к...
Пример 1
Пример 1Для всех дальнейших вычислений х сохраняет свое значение. х+у 5.8598744820488384738229308546321653819544164930751+ у Подстановки удобно задавать в виде поименованных правил. Например, можн...
Пример 2
Пример 2Выражения в системе Mathematica имеют заголовки. Например:...
Пример 3
Пример 3Их тоже можно заменить....
Пример 4
Пример 413 данном случае выражения с заголовками integer, Rational и Plus были заменены их логарифмами. Вот еще пример этого типа. Все выражения с заголовками f или g заменим их квадратами....
Пример 5
Пример 5Вот еще один способ сделать то же самое....
Пример 6
Пример 6А вот как все множители, являющиеся вызовами функций, можно возвести в квадрат:...
Пример 7
Пример 7Заметьте, . что выражение HoldPattern [expression] эквивалентно выражению expression для сопоставления с образцом, но оставляет выражение expression в невычисленной форме. А вот как все вы...
Пример 8
Пример 8Действия со степенями Функция PowerExpand приводит (а*b) ^с к виду а^с * b^с. Преобразования, сделанные с помощью PowerExpand, корректны, вообще говоря, только если с целое, а а и b положи...
Пример 9
Пример 9Ну и конечно же, PowerExpand также приводит (а^b) ^с к виду а^ (bc). Раскрытие скобок Раскрытие скобок выполняет функция Expand. Вот пример....
Пример 10
Пример 10Можно указать, что при раскрытии скобок нужно выполнять приведение по определенному модулю....
Пример 11
Пример 11Наконец, можно указать, что раскрывать скобки нужно только в выражениях определенного вида. Для этого в вызове функции должен быть задан второй аргумент — шаблон, к которому применяется р...
Пример 12
Пример 12Однако функция Expand раскрывает не все скобки, а только в произведениях и степенях. Она не раскрывает скобки, например, в знаменателях. Если же нужно раскрыть все скобки, нужно применить...
Пример 13
Пример 13Конечно же, для функции ExpandAll также можно указать шаблон, к которому применяется раскрытие скобок. Все выражения, не содержащие шаблона, останутся без изменения. Приведение подобных В...
Пример 14
Пример 14Иногда после приведения подобных нужно к каждому члену применить какую-нибудь функцию. Тогда ее нужно указать третьим параметром функции Collect: Collect [expr, {x1, х2, ...}, функция]. В...
Пример 15
Пример 15В функции Collect можно использовать шаблоны. В приведенном ниже примере они используются для того, чтобы собрать члены с одинаковыми степенями х и у....
Пример 16
Пример 16Заметьте, что полученное выражение отличается от...
Пример 17
Пример 17хотя и равно ему тождественно. Ниже показано применение шаблона для того, чтобы собрать члены, содержащее производные функции z одинакового порядка....
Пример 18
Пример 18  ...
Многочлены
МногочленыЧтобы проверить, что выражение ехрr есть многочлен по некоторой переменной var, нужно вызвать функцию PolynomialQ [елрг, var]. Результат будет True, если ехрr является многочленом по пер...
Пример 1
Пример 1В случае нескольких переменных при проверке необходимо указать список переменных: PolynomialQ [expr, [varl, var2,...}]. PolynomialQ[ху,{х,у}] True Выражение PolynomialQ [ехрr] равно True,...
Пример 2
Пример 2Выражение Coefficient [poly, form^n] эквивалентно Coefficient [poly, form, n]....
Пример 3
Пример 3Результат вычисления выражения CoefficientList [poly, form] представляет собой список коэффициентов при степенях form в полиноме poly. Список составляется в порядке возрастания степеней....
Пример 4
Пример 4Список коэффициентов можно привести по определенному модулю....
Пример 5
Пример 5Приведение к каноническому виду Приведение многочленов к каноническому виду выполняется путем раскрытия скобок и приведения подобных. Разложение на множители Разложение многочленов на множ...
Пример 6
Пример 6Разложение на множители выполняет не только функция Factor, но и функции FactorList и FactorTerms. В результате вычисления выражения FactorList [poly] получается список множителей полинома...
Пример 7
Пример 7Функция FactorTerms позволяет вынести общий числовой множитель....
Пример 8
Пример 8Вызов FactorTerms [poly, x] позволяет вынести общий множитель, не зависящий от х; FactorTerms [poly, {xl, x2, ...}] последовательно выделяет множители, не зависящие от x1, х2 и т.д. Вычисл...
Поле рациональных дробей
Поле рациональных дробей Дробь, числитель и знаменатель которой — полиномы, называется рациональной дробью. Уже знакомые нам функции Expand и Factor могут применяться к рациональным дробям. Функци...
Пример 1
Пример 1Функция Factor, примененная к сумме рациональных дробей, приводит их к общему знаменателю и раскладывает на множители числитель и знаменатель полученной рациональной дроби:...
Пример 2
Пример 2Функция Together приводит рациональные дроби к общему знаменателю и после их сложения сокращает общие множители в числителе и знаменателе....
Пример 3
Пример 3Общие множители в числителе и знаменателе рациональной дроби не сокращаются автоматически. Чтобы их сократить. прибегают к функции Cancel:...
Пример 4
Пример 4Можно раскрывать скобки только в числителе или только в знаменателе рациональной дроби. Для этого предназначены функции ExpandNumerator и Expand Denominator. Получить числитель и знаменате...
Пример 5
Пример 5Функцию Simplify можно применять также для упрощения выражений при определенных условиях. Вот пример. Simplify[a^3+b^3+c^3-3*a*b*c,a+b+c==0] 0...
Линейная алгебра
Линейная алгебра Произведения векторов и матриц Скалярное произведение векторов и матриц обозначается точкой. {a1, а2, a3}.{b1, b2, b3} a1 b1 + a2 b2 + аз bз Для вычисления векторного произведен...
Пример 1
Пример 1Обратные и псевдообратные матрицы Совсем просто выполняется обращение неособенных матриц....
Пример 2
Пример 2Особенная матрица не имеет обратной, но для нее можно определить псевдообратную, т.е. такую, произведение которой на исходную наименее уклоняется (по сумме квадратов) от единичной матрицы....
Пример 3
Пример 3С помощью псевдообратных матриц можно находить решения несовместных систем линейных уравнений. Решение систем линейных уравнений Пусть имеем систему линейных уравнений т х = v, где т — мат...
Пример 4
Пример 4Вот как проверяется результат. m.x-v {0,0} Имеются, конечно, и функции для специализированных методов, таких как Гауссово исключение, разнообразные декомпозиции, вычисление миноров и т.д....
Пределы
ПределыДля вычисления пределов предназначена функция Limit. Вот примеры нахождения нескольких пределов....
Пример 1
Пример 1Абсолютно ничего сложного. Но помните, что если двустороннего предела нет, система Mathematica может пытаться подсунуть односторонний вместо него, причем даже предупреждения не будет! Вот...
Пример 2
Пример 2...
Дифференцирование
Дифференцирование Для дифференцирования в системе Mathematica предусмотрена команда (функция) D [.,.]. Вот как вычисляется производная функции...
Пример 1
Пример 1. ...
Пример 2
Пример 2 Заметьте, что выражение, полученное в результате дифференцирования, пришлось упрощать, так как автоматически упрощение не выполняется! Вот еще один пример. 0[Аbз[х^2],х] 2 Abs [x] Abs'[х]...
Ряды
РядыРазложение в ряд Тейлора Вот как функция tg(x-x3)-sin(x+x3) разлагается в ряд Тейлора:...
Пример 1
Пример 1Чтобы отбросить остаточный член, можно воспользоваться командой Normal:...
Пример 2
Пример 2Ниже приведен пример разложения в ряд Тейлора функции двух переменных....
Пример 3
Пример 3Заметьте, что для отбрасывания остаточных членов понадобилась только одна команда Normal. Арифметические операции над рядами Конечно, ряды можно складывать, вычитать, умножать и даже делит...
Пример 4
Пример 4Деление можно выполнить так....
Пример 5
Пример 5Конечно, это есть начальный отрезок ряда, представляющего частное функций....
Пример 6
Пример 6...
Исследование функций и построение графиков
Исследование функций и построение графиков Едва ли можно указать единую схему, пригодную для исследования абсолютно всех функций. Так что едва ли стоит удивляться, что в курсах анализа можно найти...
Пример 1
Пример 1Вот более сложный пример. Пусть нужно найти локальные экстремумы функции...
Пример 2
Пример 2Определим нашу функцию в системе Mathematica. y1=((l-x) (х-2)^2)^(1/3) ((1-х) (-2 + х)2)1/3 Данная функция определена и непрерывна на всей числовой оси. Находим ее производную....
Пример 3
Пример 3Видим, что производную можно упростить, поэтому применяем функцию FullSimplify. (Вообще говоря, это лучше делать всякий раз, когда вычисляются производные.)...
Пример 4
Пример 4Видим, что в точках х = 1 и х = 2 производная не существует, а в нуль обращается только в точке х = 4/3. Поэтому только эти точки и являются критическими для данной функции. Однако при пер...
Пример 5
Пример 5Так что локальный минимум равен...
Пример 6
Пример 6Точно так же вычисляется и локальный максимум. y1/.x->2 0 Вот график данной функции....
Пример 7
Пример 7Заметьте, что для построения графика знак подкоренного выражения пришлось вынести из под корня, благодаря чему подкоренное выражение оказалось неотрицательным. Нахождение наибольшего и наи...
Пример 8
Пример 8...
Интегрирование
ИнтегрированиеНеопределенные интегралы, или первообразные Чтобы найти неопределенный интеграл, можно воспользоваться командой Integrate:...
Пример 1
Пример 1Но не всегда все проходит так гладко. Например, в интеграле...
Пример 2
Пример 2не учтен случаи n= - 1. Вот еще пример....
Пример 3
Пример 3Это тавтология. Между тем данный интеграл равен еx-1 при х<0 и 1-еx в остальных случаях. (Я здесь не опустил 1 для того, чтобы интеграл был непрерывен при х = 0.) Впрочем, многие интегр...
Пример 4
Пример 4Неберущиеся интегралы остаются без изменений или выражаются через специальные функции Integrate[Ехр[х^2], х] 1/2? Erfi [x] Определенные интегралы Команда Integrate вычисляет и определенные...
Пример 5
Пример 5Чтобы приближенно вычислить определенный интеграл (например, неберущийся), можно воспользоваться командой NIntegrate. Integrate[Exp[x]/x,{x,1,2}] -Gamma[0,-2]+Gamma[0,-1] Nlntegrate[Exp[x]...
Пример 6
Пример 6Теперь нужно вычислить...
Пример 7
Пример 7  где G — пластина. Чтобы свести эти интегралы к повторным, перейдем к полярным координатам. Тогда пластина будет ограничена лучами ?1 = arctg 0.5 и ?2 = arctg 2 и кривыми...
Пример 8
Пример 8(значение р на гиперболе ху = 1) и ...
Пример 9
Пример 9  (значение р на  гиперболе ху = 2). Поэтому далее мы бы написали ...
Пример 10
Пример 10и вычислили бы этот интеграл обычным путем. Но с помощью системы Mathematica все можно сделать проще:...
Пример 11
Пример 11Момент инерции относительно оси 0у можно вычислить точно таким же методом. Впрочем, очевидно, что момент инерции относительно оси 0у равен моменту инерции относительно оси Ох....
Векторный анализ
Векторный анализ Операции векторного анализа легко определить самостоятельно. Для этого полезны функции Outer и Inner. Функция Outer позволяет создать декартово произведение двух списков. Вот как...
Пример 1
Пример 1Вот числовой пример....
Пример 2
Пример 2Функция Inner немного похожа на скалярное произведение. Собственно говоря, inner[f, список1, список2, g] и есть скалярное произведение, в котором умножение замещается функцией/, а сложение...
Пример 3
Пример 3Определяем теперь лапласиан laplacian[f_,x_List]:=Inner[D,gradient[f,x] ,x] и вычисляем его: laplacian[f[x,y,z], {x,y,z}] f(0,0,2)[x, y, z] + f(0,2,0)[x, y, z] f(2,0,0)[x, y, z] Совсем нес...
Пример 4
Пример 4Наконец, определяем дивергенцию. divergence[f_List,x_List]:=Inner[D,f ,x] Вот пример ее вычисления. divergence [ {f [x, у, z], g [x, у, z], h [x, y, z] }, {x, y, z} ] h(0,1,0)[x, y, z] + g...
Пример 5
Пример 5Впрочем, операции векторного анализа приходится выполнять не только в декартовой системе координат. Поэтому для выполнения этих операций имеется специальный пакет, загружаемый как обычно:...
Пример 6
Пример 6и объем сферы радиуса R:...
Пример 7
Пример 7При решении многих задач весьма полезно изображать векторные поля графически. Для изображения двухмерных полей следует подгрузить пакет <<Graphics` PlotField`. Вот как с его помощью...
Пример 8
Пример 8Не сложнее нарисовать и градиент скалярного поля....
Пример 9
Пример 9Есть и функции для вычерчивания полей, заданных таблично....
Пример 10
Пример 10Для трехмерных полей нужно загружать пакет <<Graphics `PlotField3D`Вот как можно нарисовать векторное поле, компоненты которого равны y/z, -x/z и 0....
Пример 11
Пример 11Есть, конечно, и функция для изображения градиента скалярной функции. Ниже изображен градиент функции xyz....
Пример 12
Пример 12Эти средства изображения векторных полей могут применяться, конечно, не только в векторном анализе, но и для решения других задач, например для исследования дифференциальных уравнений....
Поля направлений для дифференциальных уравнений и изоклины
Поля направлений для дифференциальных уравнений и изоклиныЧтобы представить поведение интегральных кривых дифференциального уравнения, полезно начертить поле направлений для данного дифференциальн...
Пример 1
Пример 1Совсем несложно начертить и изоклины интегральных кривых дифференциального уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной, т.е. имеющего вид. у'= Аf(x, у). Построение изо...
Пример 2
Пример 2Чертежи полей направлений и изоклин, несомненно, дают весьма хорошее представление об интегральных кривых. Однако куда важнее то, что система Mathematica может интегрировать дифференциальн...
Нахождение решений дифференциальных уравнений
Нахождение решений дифференциальных уравнений Решает дифференциальные уравнения функция DSolve. Пример 10.4. Решим уравнение у'''+4у' = sec 2t. Решение. Конечно, это линейное дифференциальное урав...
Пример 1
Пример 1Как видите, система Mathematica обозначает произвольные постоянные через С[1],С[2],С[3] и т.д. Пример 10.5. Решим уравнение 4у'2-9х = 0. Решение. yh=DSolve[4y'[х]^2-9х == 0,у[х], х] {{у[х]...
Пример 2
Пример 2Как видим, в данном случае функция DSolve с поиском решения не справилась. Тем не менее решение может быть представлено в параметрической форме: х = p+sin р, у = p2/2+psin p+cos р+С. Впроч...
Пример 3
Пример 3Однако не следует думать, что функция DSolve сдается, если не может найти решение в элементарных функциях. Это далеко не так. Она старается применить специальные функции, о чем свидетельст...
Пример 4
Пример 4Как видите, в данном случае существенно использованы функции Бесселя. Но все же есть случай, когда функция DSolve сдается сразу. Это происходит, если в качестве аргумента искомой функции и...
Пример 5
Пример 5Как видим, функция DSolve не может решить всех дифференциальных уравнений. Тем приятнее узнать, что она умеет решать некоторые уравнения в частных производных....
Пример 6
Пример 6Заметьте, что фиктивные переменные, по которым производится интегрирование, обозначены в решении через K$номер. Ниже приведен пример решения задачи Коши с помощью все той же функции...
Пример 7
Пример 7Часто решение дифференциального уравнения имеет довольно громоздкий вид, и по нему представить поведение интегральных кривых довольно сложно. В этих случаях полезно построить график решени...
Пример 8
Пример 8  и построим график его решения. Сначала с помощью функции DSolve находим решение....
Пример 9
Пример 9Найдя решение, можем построить его график. Для этого придется, конечно, задать значения произвольных постоянных. В данном случае это уравнение первого порядка, и потому у него только одна...
Пример 10
Пример 10Иногда приходится строить графики решений, получающихся при различных значениях произвольных постоянных. Тогда нужно в подстановке указать список значений. Пусть, например, нужно построит...
Пример 11
Пример 11Тогда это можно сделать так....
Пример 12
Пример 12Пример 10.8. Построение графика решения задачи Коши. Найдем решение задачи Коши для дифференциального уравнения у"= ау'+у с параметром и построим график его решения для нескольких зн...
Пример 13
Пример 13Теперь можем построить графики....
Пример 14
Пример 14Все построенные решения проходят через точку (0, 1) и в этой точке имеют общую касательную, параллельную оси абсцисс....
Системы дифференциальных уравнений
Системы дифференциальных уравнений Функция DSolve позволяет также решать системы дифференциальных уравнений. Пример 10.9. Найдем решение системы дифференциальных уравнений х' = у, у' = -а2х, у...
Пример 1
Пример 1Теперь построим графики функций x(t) и y(t) для случая, когда параметр а принимает значение 1/2....
Пример 2
Пример 2Чтобы построить фазовый портрет, нужно воспользоваться функцией ParametricPlot....
Пример 3
Пример 3Однако не всегда функция DSolve справляется с системами дифференциальных уравнений. Пример 10.10. Найдем решение системы дифференциальных уравнений у"= y2+z, z'= -2yy'+y, удовлетворяю...
Пример 4
Пример 4Конечно, это совершенно нечитаемо, и лучше превратить это в обычную таблицу. xy(x)z(х)12.71828-4.670771.23.32012-7.703051.44.0552-12.38941.64.95303-19.57951.86.04965-30.54862.7.38906-47.2...
Пример 5
Пример 5...
Резюме
РезюмеВ системе Mathematica предусмотрены все функции, необходимые для выполнения основных алгебраических и аналитических операций. Очень легко, в частности, выполняются всевозможные подстановки....








Начало